已知各项都为正数的等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an

问题填空题

已知各项都为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n，使得

am•an

=4a1，则m（1+n）的最大值等于______．

答案

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，∵a₇=a₆+2a₅，则a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴，即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）．

∵

am•an

=4a1，故有a12×2m+n-2=16 a12，则m+n=6．

则m（1+n）=（6-n）（1+n），利用二次函数的性质可得，当n=3时，m（1+n）取得最大值为12，

故答案为 12．