∵二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），∴

a＞0 △=16-4ac=0

，解得a＞0，c＞0，ac=4．

∴c=

4

a

，代入u得u=

1

( 4 a )2+1

+

4

a2+4

=

a2

a2+16

+

4

a2+4

．

令a²=t＞0，u=v（t）=

t

t+16

+

4

t+4

，

∴v^′（t）=

t+16-t

(t+16)2

+

-4

(t+4)2

=

12(t2-64)

(t+4)2(t+16)2

，

令v^′（t）=0，（t＞0），解得t=8．

当0＜t＜8时，v^′（t）＜0，函数v（t）单调递减；当t＞8时，v^′（t）＞0，函数v（t）单调递增．

故当t=8时，函数v（t）取得最小值v（8）=

8

8+16

+

4

8+4

=

2

3

．

∴则u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值为

2

3

．

故答案为

2

3

．