问题
解答题
已知数列{an}中，a1=
（Ⅰ）令bn=an+1-an-1，求证数列{bn}是等比数列，并求通项bn； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在常数λ，使得数列{
|
答案
（ I）由已知得 a1=
，2an+1=an+n，∵a2=1 2
，a2-a1-1=3 4
-3 4
-1=-1 2
，3 4
又bn=an+1-an-1，bn+1=an+2-an+1-1，
∴
=bn+1 bn
=an+1-an-1 an+2-an+1-1
=
-an+1+(n+1) 2 an+n 2 an+1-an-1
=an+1-an-1 2 an+1-an-1
．1 2
数列{bn}是以-
为首项以3 4
为公比的等比数列，bn=-1 2
×(3 4
)n-1．1 2
（Ⅱ）因为bn=-
×(3 4
)n-1，1 2
∴an+1-an=1-
×(3 4
)n-1，a2-a1=1-1 2
×3 2
；a3-a2=1-1 2
×3 2
，…，an+1-an=1-1 22
×(3 4
)n-1，1 2
将以上各式相加得：an-a1=n+1-
(3 2
+1 2
+…+1 22
)，1 2n-1
an=n-
-1 2
×3 2
=
(1-1 2
)1 2n-1 1- 1 2
+n-2．3 2n
（Ⅲ）存在λ=2，使得数列{
}为等差数列，Sn+λTn n
∵Sn=a1+a2+…+an
=3(
+1 2
+…+1 22
)+（1+2+…+n）-2n1 2n
=3×
+
(1-1 2
)1 2n 1- 1 2
-2nn(n+1) 2
=3(1-
)+1 2n
=-n2-3n 2
+3 2n
+3．n2-3n 2
Tn=b1+b2+…+bn=
=--
(1-3 4
)1 2n 1- 1 2
(1-3 2
)=-1 2n
+3 2
．3 2n+1
数列{
}是等差数列的充要条件是Sn+λTn n
=An+B，(A、B是常数）Sn+λTn n
即Sn+λTn=An2+Bn，
又Sn+λTn=-
+3 2n
+3+λ(-n2-3n 2
+3 2
)=3 2n+1
+3-n2-3n 2
+λ(-3 2n
+3 2
)3 2n+1
则3-
+λ(-3 2n
+3 2
)=0，当λ=2时，上式成立．3 2n+1
所以存在常数λ=2，使得数列{
}为等差数列．Sn+λTn n