（1）∵直线y=-

3

3

x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（

3

，0），B（0，1），

在Rt△ABO中，

∵AB=

OA2+OB2

=2，

∴tan∠BAO=

1

3

=

3

3

，

∴∠BAO=30°

又∵△ABC是等边三角形

∴AC=AB=2，∠BAC=60°，

∴∠OAC=90°

∴CA∥OB，

∴C点坐标为（

3

，2）；

（2）∵D是AB的中点，过D作DF∥OB，交OA于F，

则DF=

1

2

OB=

1

2

，OF=

1

2

OA=

3

2

∴D点坐标为（

3

2

，

1

2

），

设过C、D两点的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），

则

3 k+b=0 3 2 k+b= 1 2

，解得

k= 3 b=-1

，

∴所求一次函数的解析式为y=

3

x-1；

（3）过点B作BH⊥AC于点H，

∵△ABC是等边△，

∴BH是AC的垂直平分线，

∴BF过点O′，

∵B（0，1），

∴当y=1时，x=

2 3

3

∴O′（

2 3

3

，1），

∵CA∥BO，BH⊥AC，

∴BH⊥OB，且过⊙O′半径的外端，

∴OB是⊙O′的切线，

∴OB²=OE•OA，即1=OE•

3

，解得OE=

3

3

，

∴E（

3

3

，0），

设过E、O′、A三点的抛物线为y=ax2+bx+c，将三点坐标代入得

3a+ 3 b+c=0 4 3 a+ 2 3 b 3 +c=1 1 3 a+b+c=0

解得

a=-3 b=4 3 c=-3

∴所求二次函数的解析式为y=-3x²+4

3

x-3．