问题
解答题
已知抛物线C1：y=x2，F为抛物线的焦点，椭圆C2：
（1）若M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF|=
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C1交于A，B两个不同的点，l与椭圆C2交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k2＞
|
答案
（1）设M（x，y），|MF|=y+
=1 4
，y=3 4
，x2=1 2
，代入1 2
+x2 2
=1，y2 a2
+1 4
=1，1 4 a2
∴a2=
，又0＜a＜2，∴a=1 3
；3 3
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点R（xR，yR），
y=kx+1，代入抛物线方程可得到x2-kx-1=0，
x1+x2=k，
y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2，∴R（
，k 2
）k2+2 2
设P（x3，y3），B（x4，y4），PQ中点S（xS，yS），
y=kx+1，代入椭圆方程可得到（2k2+a2）x2+4kx+2-2a2=0，
∴x3+x4=
，y3+y4=k（x3+x4）+2=-4k 2k2+a2
，2a2 2k2+a2
∴S（
，-2k 2k2+a2
），a2 2k2+a2
由条件知，
•OS
=0，∴OR
+-2k2 2(2k2+a2)2
=0，a2(k2+2) 2(2k2+a2)
∴-2k2+a2（k2+2）=0，
∴a2=2-
，4 k2+2
∵k2＞
，∴k2+2＞1 2 5 2
∴
∈(0，4 k2+2
)，8 5
∴a2∈（
，2），2 5
又0＜a＜2，∴a∈(
，10 5
)，此时△＞0恒成立2
