问题 填空题

长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y2=2px(p>0,a>2p)上滑动,则线段AB的中点M到y轴的最短距离为______.

答案

由题意可得抛物线的准线l:x=-

p
2

分别过A,B,M作AC⊥l,BD⊥l,MH⊥l,垂足分别为C,D,H

在直角梯形ABDC中MH=

AC+BD
2

由抛物线的定义可知AC=AF,BD=BF(F为抛物线的焦点)

MH=

AF+BF
2
AB
2
=
a
2

即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为

a
2

∴线段 AB的中点M到y轴的最短距离为

1
2
(a-p)

故答案为

1
2
(a-p)

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