问题
解答题
| 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3…． （Ⅰ）求证：数列{an-2n}为等比数列； （Ⅱ）设bn=an•cosnπ，求数列{bn}的前n项和Pn； （Ⅲ）设cn=
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答案
（Ⅰ）∵Sn=2an+n2-3n-2，
∴Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2．
∴an+1=2an-2n+2，∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）．
∴{an-2n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）a1=S1=2a1-4，∴a1=4，∴a1-2×1=4-2=2．
∴an-2n=2n，∴an=2n+2n．
当n为偶数时，Pn=b1+b2+b3+…+bn
=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）
=-（2+2×1）-（23+2×3）-…-[2n-1+2（n-1）]+（22+2×2）+（24+2×4）+…+（2n+2×n）
=
-4(1-2n) 1-22
+n=2(1-2n) 1-22
•(2n-1)+n；2 3
当n为奇数时，Pn=-
-(n+1)．2n+1+2 3
综上，Pn=
；-
-n-2n+1 3
，(n为奇数)5 3
•(2n-1)+n，(n为偶数)2 3
（Ⅲ）cn=
=1 an-n
．1 2n+n
当n=1时，T1=
＜1 3 37 44
当n≥2时，Tn=
+1 21+1
+1 22+2
+…+1 23+3 1 2n+n
＜
+1 3
+1 22
+…+1 23 1 2n
=
+1 3
=
(1-1 4
)1 2n-1 1- 1 2
+1 3
-1 2
=1 2n
-5 6
＜1 2n
＜5 6 37 44
综上可知：任意n∈N，Tn＜
．37 44