问题
解答题
设数列{an}的前n项的和为Sn，满足Sn+an=n+3（n∈N*）．
（1）求证：存在常数c，使数列{an+c}是等比数列；
（2）求an与Sn；
（3）设Tn=Sn-nan（n∈N*），求证：Tn+1＞Tn．
答案
（1）证明：Sn+an=n+3①；Sn-1+a n-1=n+2 ②
①式与②式相减，得 2an-an-1=1，经过变形，得
=an-1 an-1-1
，1 2
显然存在常数c=-1，使得数列{an-1}是等比数列，且公比q=1 2
（2）当n=1，有s1+a1=2a1=1+3，可得a1=2，
由{an-1}是等比数列，公比q=0.5，当n＞1时，可知an-1=（a1-1）qn-1化简，得an=0.5n-1+1
sn=n+3-an=n+2-q^（n-1）=n+2-0.5n-1
（3）证明：Tn+1=S n+1-（n+1）×an+1=sn-nan+1 由Tn=Sn-nan，两式相减，得Tn+1-Tn=n[an-an+1]③
由于n为N正，n＞0，当n=1时，an=2，an+1=1，an-an+1＞0，故③式右边大于0，故Tn+1＞Tn．
当n＞1时，由前面得an-an+1=0.5an＞0，故③式右边大于0，故Tn+1＞Tn．
得证