（I）由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0

直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．

所以△=0⇒b=1e=

c

a

=

2

2

⇒a=

2

所以椭圆C1：

x2

2

+y2=1（5分）

（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2

当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1

所以两圆的切点为点（0，1）（8分）

所求的点T为点（0，1），证明如下．

当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）

当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得（18k²+9）x²-12kx-16=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

TA

•

TB

=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)

-16

18k2+9

-

4

3

×

12k

18k2+9

+

16

9

=0

所以

TA

⊥

TB

，即以AB为直径的圆过点（0，1）

所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）