问题
解答题
已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）-f（x2）|≤9，求实数a的取值范围．
答案
（1）∵f（x）=（x-a）2+5-a2（a＞1），
∴y=f（x）在[1，a]上是减函数，…（2分）
又定义域和值域均为[1，a]，∴
，…（4分）f(1)=a f(a)=1
即
，解得 a=2． …（6分）1-2a+5=a a2-2a2+5=1
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴a≥2，…（7分）
又对称轴为x=a，a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1
∴f（x）max=f（1）=6-2a，f（x）min=f（a）=5-a2． …（10分）
∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤9，
∴f（x）max-f（x）min≤9，
即 （6-2a）-（5-a2）≤9，解得-2≤a≤4，…（13分）
又a≥2，∴2≤a≤4． …（14分）