已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，（n∈N*）．（1）求证：

问题解答题

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*）．

（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的前n项和．

答案

（1）∵a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*），

∴a_n+1+1=2（a_n+1），

∴

an+1+1

an+1

=2，

∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，

（2）由（1）知，数列{a_n+1}是等比数列，且q=2，首项为a₁+1=2，

∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，

∴a_n=2ⁿ-1，

∴数列{a_n}的前n项和s_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2．