（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-

3

，0），（

3

，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆．

故曲线C的方程为

x2

4

+y2=1．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点横坐标为y，则

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1

两方程相减可得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0

∵直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点，AB中点横坐标为-

1

2

，

∴

-(x1-x2)

4

+2y(y1-y2)=0

∴

-1

4

+2y•

y

- 1 2 +1

=0

∴y=±

1

4

∴直线AB的斜率为k=±

1

2

∴直线AB的方程为y=±

1

2

（x+1）；

（3）存在△AOB面积的最大值．

因为直线l过点E（-1，0），可设直线l的方程为x=my-1．

代入椭圆方程整理得（m²+4）y²-2my-3=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得y₁=

m+2 m2+3

m2+4

，y2=

m-2 m2+3

m2+4

．

则|y₂-y₁|=

4 m2+3

m2+4

．

∴S_△AOB=

1

2

|OE||y2-y1|=

2 m2+3

m2+4

设t=

m2+3

（t≥

3

），则g（t）=

2

t+ 1 t

∵y=t+

1

t

在区间[

3

，+∞）上为增函数．

∴t+

1

t

≥

4 3

3

．

∴S△AOB≤

3

2

，当且仅当m=0时取等号，

∴S_△AOB的最大值为

3

2

．