问题
解答题
| （文科）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，n∈N*． （1）记bn=an+n+1，求证：数列{bn}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式； （2）在（1）的条件下，记cn=
|
答案
（1）∵an+1=2an+n，
∴an+1+（n+2）=2an+n+n+2=2[an+（n+1）]
即bn+1=2bn，n∈N*，
∴{bn}是等比数列且首项为b1=a1+1+1=3，公比为2，
∴bn=3•2n-1
∴an=bn-（n-1）=3×2n-1-n-1．
（2）由（1）可知：cn=
=2n+2 3•2n+3
=
(3×2n+3)+11 3 3×2n+3
+1 3
＜1 3×2n+3
+1 3 1 3×2n
∴Sn＜
+n 3
=
(1-1 6
)1 2n 1- 1 2
+n 3
(1-1 3
)＜1 2n
+n 3
=1 3 n+1 3
故Sn＜
(n∈N*)n+1 3
has read many books on history, so it's for him lo answer these questions.