（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

题目分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A₁、MA₂M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C₁方程为x²+y²=a²，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（﹣a，0），F₂（a，0），假设在C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，的充要条件为，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF₁NF₂的值．

解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），

当x≠±a时，由条件可得，

即mx²﹣y²=ma²（x≠±a），

又A₁（﹣a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²﹣y²=ma²．

当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=﹣1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；

当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；

（Ⅱ）由（I）知，当m=﹣1时，C₁方程为x²+y²=a²，

当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（﹣a，0），F₂（a，0），

对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，

的充要条件为

由①得0＜|y₀|≤a，由②得|y₀|=，

当0＜≤a，即，或时，

存在点N，使S=|m|a²，

当，即，或时，不存在满足条件的点N．

当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x₀，﹣y₀），=（a﹣x₀，﹣y₀），

可得=x₀²﹣（1+m）a²+y₀²=﹣ma²．

令=r₁，||=r₂，∠F₁NF₂=θ，

则由=r₁r₂cosθ=﹣ma²，可得r₁r₂=，

从而s=r₁r₂sinθ==﹣，于是由S=|m|a²，

可得﹣=|m|a²，即tanθ=，

综上可得：当m∈[，0）时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=2；

当m∈（0，]时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=﹣2；

当时，不存在满足条件的点N．

点评：此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想．其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．