问题
解答题
各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn=
（1）求an； （2）令bn=
（3）令bn=λqan+λ（λ、q为常数，q＞0且q≠1），cn=3+n+（b1+b2+…+bn），是否存在实数对（λ、q），使得数列{cn}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{cn}的通项公式，若不存在，请说明理由． |
答案
（1）a1=S1=1 4
+a 21
a1⇒1 2 1 4
-a 21
a1=0，1 2
∵a1＞0，∴a1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=1 4
+a 2n
an-1 2 1 4
-a 2n-1
an-1，1 2
(1 4
-a 2n
)-a 2n-1
(an+an-1)=0，即（an+an-1）（an-an-1-2）=01 2
∵an＞0，∴an-an-1=2，∴{an}为等差数列，（2分）
∴an=2n（n∈N*）；（4分）
（2）c1=b6=b3=a3=6，c2=b8=b4=b2=b1=a1=2，（6分）
n≥3时，cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1=a2n-2+1=2n-1+2，（8分）
此时，Tn=8+（22+2）+（23+2）+（2n-1+2）=2n+2n；
∴Tn=
；（10分）6，n=1 8，n=2 2n+2n n≥3且n∈N*
（3）cn=3+n+
+λn=3+λq2(1-q2n) 1-q2
-λq2 1-q2
+(λ+1)n，λq2n+2 1-q2
令
⇒3+
=0λq2 1-q2 λ+1=0
，（14分）λ=-1 q=± 3 2
∴存在(λ，q)=(-1，±
)，cn=4•(3 2
)n+1．（16分）3 4