问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)且a1，a2+5，a3成等差数列． （1）求a1的值； （2）若数列{bn}满足bn=an+2n，求证数列{bn}是等比数列． （3）求满足an＞
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答案
（1）∵2Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)
∴2a1=a2-3①，2（a1+a2）=a3-7②
∵a1，a2+5，a3成等差数列
∴2（a2+5）=a1+a3，③
∴由①②③可得a1=1；
（2）证明：∵2Sn=an+1-2n+1+1，
∴2Sn-1=an-2n+1（n≥2）
两式相减可得2an=an+1-an-2n
∴an+1=3an+2n
∵数列{bn}满足bn=an+2n，
∴
=bn+1 bn
=an+1+2n+1 an+2n
=3（n≥2）3an+2n+2n+1 an+2n
∵2a1=a2-3，
∴a2=5
∴b1=3，b2=9
∴
=3b2 b1
∴数列{bn}是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分）
（3）由（2）知bn=3n，即an+2n=3n
∴数列{an}的通项公式是an=3n-2n．…（11分）
∴
=1-(an 3n
)n＞2 3
，即(4 5
)n＜2 3
，1 5
所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）