问题
解答题
已知数列{an}，{cn}满足条件：a1=1，an+1=2an+1，cn=
（1）求证数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）求数列{cn}的前n项和Tn，并求使得Tn＞
|
答案
（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵an+1=2an+1
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1=1，a1+1=2≠0…（2分）
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵cn=
=1 (2n+1)(2n+3)
(1 2
-1 2n+1
)，…（6分）1 2n+3
∴Tn=
(1 2
-1 3
+1 5
-1 5
+…+1 7
-1 2n+1
)1 2n+3
=
(1 2
-1 3
)=1 2n+3
=n 3×(2n+3)
．…（8分）n 6n+9
∵
=Tn+1 Tn
•n+1 6n+15
=6n+9 n
=1+6n2+15n+9 6n2+15n
＞1，9 6n2+15n
又Tn＞0，
∴Tn＜Tn+1，n∈N*，即数列{Tn}是递增数列．
∴当n=1时，Tn取得最小值
．…（10分）1 15
要使得Tn＞
对任意n∈N*都成立，1 am
结合（Ⅰ）的结果，只需
＞1 15
，1 2m-1
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）