（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k．

①当k＜1时，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）

②当1≤k≤2时，fmin(x)=f(k)=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）

③当k＞2时，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=

10

3

．

综合①②③可得k=

10

3

．-------（4分）

（Ⅱ）当k∈(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)时，函数f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上是闭函数．--------（6分）

∵函数开口向上且对称轴为x=k，∴f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上单调递增．

设存在区间[a，b]⊆[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，

则有

a2-2ka+k+1=a b2-2kb+k+1=b

，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有两不同实数根．---------（8分）

∴

(2k+1)2-4(k+1)＞0 2k+1 2 ＞k k2-k(2k+1)+k+1＞0

，解得-1＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜1，

∴k的取值范围为(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)-----（10分）