已知数列{an}满足条件：a1=t，an+1=2an+1．（I）判断数列{an+

问题解答题

已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判断数列{a_n+1}是否为等比数列；
（Ⅱ）若t=1，令cn=

an•an+1

，记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
证明：
（i）cn=

an+1

；
（ii）T_n＜1．

答案

解（I）由题意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）

∵a₁+1=t+1

∴当t=-1时，数列{a_n+1}不是等比数列

当t≠-1时，数列{a_n+1}是以t+1为首项，以2为公比的等比数列；

（II）当t=1时，由（I）知an+1=2•2n-1

∴an=2n-1

∴Cn=

anan+1

(2n-1)(2n+′1-1)

2n-1

2n+1-1

an+1

∴Tn=1-

+…+(

2n-1

2n+1-1

)

=1-

2n+1-1

＜1