问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=
（1）求证：数列{
（2）记Sn=
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且am-1，as-1，an-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． |
答案
（1）∵
=1 an+1
+2 3
，∴1 3an
-1=1 an+1
-1 3an
，（2分）1 3
∵
-1≠0，∴1 a1
-1≠0(n∈N*)，（3分）1 an
∴
-1=1 an
×(2 3
)n-1，1 3
∴数列{
-1}为等比数列．（4分）1 an
（2）由（1）可求得
-1=1 an
×(2 3
)n-1，∴1 3
=2×(1 an
)n+1．（5分）Sn=1 3
+1 a1
++1 a2
=n+2(1 an
+1 3
++1 32
)=n+2•1 3n
=n+1-
-1 3 1 3n+1 1- 1 3
，（7分）1 3n
若Sn＜100，则n+1-
＜100，∴nmax=99．（9分）1 3n
（3）假设存在，则m+n=2s，（am-1）•（an-1）=（as-1）2，（10分）
∵an=
，∴(3n 3n+2
-1)•(3n 3n+2
-1)=(3m 3m+2
-1)2．（12分）3s 3s+2
化简得：3m+3n=2•3s，（13分）
∵3m+3n≥2•
=2•3s，当且仅当m=n时等号成立．（15分）3m+n
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）
