问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=
(1)求证:数列{
(2)记Sn=
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am-1,as-1,an-1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由. |
答案
(1)∵
=1 an+1
+2 3
,∴1 3an
-1=1 an+1
-1 3an
,(2分)1 3
∵
-1≠0,∴1 a1
-1≠0(n∈N*),(3分)1 an
∴
-1=1 an
×(2 3
)n-1,1 3
∴数列{
-1}为等比数列.(4分)1 an
(2)由(1)可求得
-1=1 an
×(2 3
)n-1,∴1 3
=2×(1 an
)n+1.(5分)Sn=1 3
+1 a1
++1 a2
=n+2(1 an
+1 3
++1 32
)=n+2•1 3n
=n+1-
-1 3 1 3n+1 1- 1 3
,(7分)1 3n
若Sn<100,则n+1-
<100,∴nmax=99.(9分)1 3n
(3)假设存在,则m+n=2s,(am-1)•(an-1)=(as-1)2,(10分)
∵an=
,∴(3n 3n+2
-1)•(3n 3n+2
-1)=(3m 3m+2
-1)2.(12分)3s 3s+2
化简得:3m+3n=2•3s,(13分)
∵3m+3n≥2•
=2•3s,当且仅当m=n时等号成立.(15分)3m+n
又m,n,s互不相等,∴不存在.(16分)