问题 解答题
已知数列{an}的首项a1=
3
5
an+1=
3an
2an+1
,n=1,2,…

(1)求证:数列{
1
an
-1}
为等比数列;
(2)记Sn=
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
,若Sn<100,求最大的正整数n.
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列且am-1,as-1,an-1成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
答案

(1)∵

1
an+1
=
2
3
+
1
3an
,∴
1
an+1
-1=
1
3an
-
1
3
,(2分)

1
a1
-1≠0,∴
1
an
-1≠0(n∈N*)
,(3分)

1
an
-1=
2
3
×(
1
3
)n-1

∴数列{

1
an
-1}为等比数列.(4分)

(2)由(1)可求得

1
an
-1=
2
3
×(
1
3
)n-1,∴
1
an
=2×(
1
3
)n+1
.(5分)Sn=
1
a1
+
1
a2
++
1
an
=n+2(
1
3
+
1
32
++
1
3n
)
=n+2•
1
3
-
1
3n+1
1-
1
3
=n+1-
1
3n
,(7分)

若Sn<100,则n+1-

1
3n
<100,∴nmax=99.(9分)

(3)假设存在,则m+n=2s,(am-1)•(an-1)=(as-1)2,(10分)

an=

3n
3n+2
,∴(
3n
3n+2
-1)•(
3m
3m+2
-1)=(
3s
3s+2
-1)2
.(12分)

化简得:3m+3n=2•3s,(13分)

3m+3n≥2•

3m+n
=2•3s,当且仅当m=n时等号成立.(15分)

又m,n,s互不相等,∴不存在.(16分)

单项选择题
单项选择题