问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=
（Ⅰ）证明：数列{
（Ⅱ）求数列{
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答案
（Ⅰ）由已知：an+1=
，2an an+1
∴
=1 an+1
=an+1 2an
+1 2
•1 2
，（2分）1 an
∴
-1=1 an+1
(1 2
-1)，1 an
又a1=
，∴2 3
-1=1 a1
，（4分）1 2
∴数列{
-1}是以1 an
为首项，1 2
为公比的等比数列．（6分）1 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
-1=1 an
•(1 2
)n-1=1 2
，1 2n
即
=1 an
+1，∴1 2n
=n an
+n．（8分）n 2n
设Tn=
+1 2
+2 22
++3 23
，①n 2n
则
Tn=1 2
+1 22
++2 23
+n-1 2n
，②n 2n+1
由①-②得：
Tn=1 2
+1 2
++1 22
-1 2n
=n 2n+1
-
(1-1 2
)1 2n 1- 1 2
=1-n 2n+1
-1 2n
，（10分）n 2n+1
∴Tn=2-
-1 2n-1
．又1+2+3++n=n 2n
．（12分）n(n+1) 2
∴数列{
}的前n项和：Sn=2-n an
+2+n 2n
=n(n+1) 2
-n2+n+4 2
．（14分）2+n 2n