由于f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）

∴

x∈[1，3] x 2∈[1，3]

解得x∈[1，

3

]，

∴f（x）∈[2，

5

2

]，令f（x）=t

又F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6

∴F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，

5

2

]，

当t=

5

2

时，函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值为

109

4

故选D