问题
解答题
已知一非零向量列{an}满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=
(1)证明:{|an|}是等比数列; (2)设θn=<a n-1,an>(n≥2),bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn; (3)设cn=|an|log2|an|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由. |
答案
(l)证明:|
|=an 1 2 (xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
=2 2
=xn-12+yn-12
|2 2
|(n≥2)又|an-1
|=a1 2
∴数列|
|是以an
为首项,公比为2
的等比数列.…(4分)2 2
(2)∵an-1
=(xn-1,yn-1) ••an
(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)=1 2
(xn-12+yn-12)=1 2
|1 2
|2an-1
∴cosθn=
=an-1 •an |an-1| •|an|
,∴θn=2 2
,∴bn=2nθn-1=π 4
-1.nπ 2
Sn=b1+b2+…+bn=(
-1)+ (π 2
-1)+…(2π 2
-1)=nπ 2
(n2+n)-n…(8分)π 4
(3)假设存在最小项,不防设为cn,∵|
|=an
(2
)n-1=22 2
,2-n 2
∴cn=|an|log2|an|=
•22-n 2
,由cn≤cn+1 得2-n 2
•22-n 2
≤2-n 2
•21-n 2 1-n 2
即
(2-n)≤1-n,∴(2
-1)n≥22
-1.2
∴n≥
=3+2
-12
-12
,∵n为正整数,∴n≥5.2
由cn≤cn-1 得n≤4+
,n≤5.,∴n=52
故存在最小项,最小项为c5=-
•2-3 2
…(12分)3 2