已知一非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=12(xn

问题解答题

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

答案

（l）证明：|

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

xn-12+yn-12

an-1

|（n≥2）又|

∴数列|

|是以

为首项，公比为

的等比数列．…（4分）

（2）∵

an-1

•an

=(xn-1，yn-1) •

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=

(xn-12+yn-12)=

an-1

|^{2
∴cosθ_n=
an-1
•an

|an-1|
•|an|
=
2
2，∴θ_n=π
4，∴b_n=2nθ_n-1=nπ
2
-1．
Sn=b₁+b₂+…+b_n=(
π
2
-1)+ (2π
2
-1)+…(nπ
2
-1)=π
4
(n2+n)-n…（8分）
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵|
an
|=
2
(
2
2
)n-1=22-n
2，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=
2-n
2
•22-n
2，由c_n≤c_n+1 得2-n
2
•22-n
2≤1-n
2
•21-n
2
即
2
（2-n）≤1-n，∴（
2-1）n≥2
2-1．
∴n≥
2
2
-1
2
-1
=3+
2，∵n为正整数，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+
2
，n≤5．，∴n=5
故存在最小项，最小项为c₅=-
3
2
•2-3
2…（12分）}