问题 解答题
已知一非零向量列{an}满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=
1
2
(xn-1-yn-1xn-1+yn-1)(n≥2)

(1)证明:{|an|}是等比数列;
(2)设θn=<a n-1,an>(n≥2),bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn
(3)设cn=|an|log2|an|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.
答案

(l)证明:|

an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2
2
xn-12+yn-12
=
2
2
|
an-1
|
(n≥2)又|
a1
|
=
2
 

∴数列|

an
|是以
2
为首项,公比为
2
2
的等比数列.…(4分)

(2)∵

an-1
an
=(xn-1yn-1) •
1
2
(xn-1-yn-1xn-1+yn-1)
=
1
2
(xn-12+yn-12)
=
1
2
|
an-1
|
2

∴cosθn=

an-1
an
 
|an-1|
•|an|
=
2
2
,∴θn=
π
4
,∴bn=2nθn-1=
2
-1

Sn=b1+b2+…+bn=(

π
2
-1)+ (
2
-1)+…(
2
-1)=
π
4
(n2+n)-n
…(8分)

(3)假设存在最小项,不防设为cn,∵|

an
|=
2
(
2
2
)
n-1
=2
2-n
2

∴cn=|an|log2|an|=

2-n
2
2
2-n
2
,由cn≤cn+1
2-n
2
•2
2-n
2
1-n
2
•2
1-n
2

2
(2-n)≤1-n,∴(
2
-1)n≥2
2
-1.

∴n≥

2
2
-1
2
-1
=3+
2
,∵n为正整数,∴n≥5.

由cn≤cn-1 得n≤4+

2
,n≤5.,∴n=5

 故存在最小项,最小项为c5=-

3
2
•2-
3
2
…(12分)

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