问题
解答题
已知一非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=
（1）证明：{|an|}是等比数列； （2）设θn=＜a n-1，an＞（n≥2），bn=2nθn-1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn； （3）设cn=|an|log2|an|，问数列{cn}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由． |
答案
（l）证明：|
|=an 1 2 (xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
=2 2
=xn-12+yn-12
|2 2
|（n≥2）又|an-1
|=a1 2
∴数列|
|是以an
为首项，公比为2
的等比数列．…（4分）2 2
（2）∵an-1
=(xn-1，yn-1) ••an
(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=1 2
(xn-12+yn-12)=1 2
|1 2
|2an-1
∴cosθn=
=an-1 •an |an-1| •|an|
，∴θn=2 2
，∴bn=2nθn-1=π 4
-1．nπ 2
Sn=b1+b2+…+bn=(
-1)+ (π 2
-1)+…(2π 2
-1)=nπ 2
(n2+n)-n…（8分）π 4
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵|
|=an
(2
)n-1=22 2
，2-n 2
∴cn=|an|log2|an|=
•22-n 2
，由cn≤cn+1 得2-n 2
•22-n 2
≤2-n 2
•21-n 2 1-n 2
即
（2-n）≤1-n，∴（2
-1）n≥22
-1．2
∴n≥
=3+2
-12
-12
，∵n为正整数，∴n≥5．2
由cn≤cn-1 得n≤4+
，n≤5．，∴n=52
故存在最小项，最小项为c5=-
•2-3 2
…（12分）3 2