已知函数f（x）=x2+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两

问题解答题

已知函数f（x）=x²+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=g（a_n），求a_n；
（3）数列{a_n}满足：a1=3，an+1=an-

f(an)

g(an)

，(n=1，2，3，…)记bn=ln

an-β

an-α

，（n=1，2，…），求证数列{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）由x²+x-6=0，可得x=2或-3，

∵α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴α=2，β=-3；

（2）∵g（x）=2x+1，∴a_n+1=g（a_n）=2a_n+1

∴a_n+1+1=2（a_n+1）

∵a₁=1，

∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列

∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；

（3）证明：an+1=an-

f(an)

g(an)

an2+6

2an+1

∴a_n+1+3=

an2+6

2an+1

+3=

(an+3)2

2an+1

，a_n+1-2=

(an-2)2

2an+1

∴bn=ln

an-β

an-α

=ln

an+3

an-2

=2ln

an-1+3

an-1-2

=2b_n-1

∴{b_n）是首项为ln

a1+3

a1-2

=ln6，公比为2的等比数列

∴{b_n}的前n项和S_n=

(1-2n)ln6

1-2

=（2ⁿ-1）ln6．