问题 解答题

已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.

(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;

(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

答案

解:(1)证明:∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,

∴在实数范围内,m无论取何值,(m-2)2+4≥4,即△≥4,

∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根;

(2)根据题意,得12-1×(m+2)+(2m-1)=0,

解得,m=2,

则方程的另一根为:m+2-1=2+1=3;

①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:

该直角三角形的周长为1+3+=4+

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2

则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2

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