已知数列{ an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an

问题解答题

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足cn=

log2bn+3

（n∈N^*），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求证，对一切n∈N^*不等式Tn＜

恒成立．

答案

证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①

当n≥2时，S_n=4a_n-1+1． ②

①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1．所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．

又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．

因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4．所以b₁=a₂-2a₁=2．

故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=

log2bn+3

n+3

（n∈N^*）．

T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1

4×5

5×6

6×7

+…+

(n+3)(n+4)

+…+

n+3

n+4

＜

．