（1）由∃x∈R，f（x）＜b•g（x），得∃x∈R，x²-bx+b＜0，

∴△=（-b）²-4b＞0，解得b＜0或b＞4，

∴实数b的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）；

（2）由题设得F（x）=x²-mx+1-m²，

对称轴方程为x=

m

2

，△=m²-4（1-m²）=5m²-4，

由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：

 ①当△≤0即-

2 5

5

＜m＜

2 5

5

时，有

m 2 ≤0 - 2 5 5 ≤m≤ 2 5 5

，解得-

2 5

5

≤m≤0，

 ②当△＞0即m＜-

2 5

5

或m＞

2 5

5

时，设方程F（x）=0的根为x₁，x₂（x₁＜x₂），

若m＞

2 5

5

，则

m

2

＞

5

5

，有

m/2≥1 x1＜0⇔F(0)=1-m2＜0.

解得m≥2；

若m＜-

2 5

5

，即

m

2

＜-

5

5

，有x₁＜0，x₂≤0；得F（0）=1-m²≥0，有-1≤m≤1，

∴-1≤m＜-

2 5

5

；

综上所述，实数m的取值范围是[-1，0]∪[2，+∞）．