问题
解答题
函数f（x）满足2f（x）-f(
（1）f（x）的解析式； （2）求数列bn的通项公式； （3）试比较2an与bn的大小，且证明你的结论． |
答案
（1）∵2f（x）-f(
)=4x-1 x
+1，2 x
∴2f(
) -f(x)=1 x
-2x+1，4 x
联立方程组2f(x)-f(
) =4x-1 x
+12 x 2f(
) -f(x)=1 x
-2x+14 x
，① ②
①×2+②，得3f（x）=6x+3，
∴f（x）=2x+1．（4′）
（2）由题设，an+1=2an+2n+1 ①，
an+2=2an+1+2n+3 ②，
②-①：an+2-an+1=2（an+1-an）+2 （6′）
即bn+1=2bn+2⇒bn+1+2=2（bn+2），
∴{bn+2}为等比数列，
q=2，b1=a2-a1=4 （8′）
bn+2=6•2n-1⇒bn=3•2n-2 （10′）
（3）由上，an+1-an=3•2n-2 ③，
an+1-2an=2n+1 ④，
③-④：an=3•2n-2n-3 （12）
∴2an-bn=3•2n-4n-4．
n=1时，2a1-b1=-2＜0，
此时2an＜bn；
n=2时，2a2-b2=0，
此时2an=bn； （14′）
n≥3时，
3•2n
=3（1+1）n
=3（1+Cn1+Cn2+…+Cnn-1+Cnn）
＞3（1+Cn1+Cnn-1）
=6n+3
＞4n+4，
此时，2an＞bn．
综上可得：当n=1时，2an＜bn，
当n=2时，2an=bn，
当n≥3时，2an＞bn．（18′）