（Ⅰ）设

an+1+p(n+1)+q

an+pn+q

=m对任意n∈N^*都成立．

得a_n+1+p（n+1）+q=ma_n+mpn+mq．（2分）

又a_n+1=2a_n+n+1，

则2a_n+n+1+pn+p+q=ma_n+mpn+mq，

即（2-m）a_n+（p+1-mp）n+p+1+q-mq=0．

由已知可得a_n＞0，

所以

2-m=0 p+1-mp=0 p+1+q-mq=0

.解得

m=2 p=1 q=2

.（5分）

则存在常数p=1，q=2使数列{a_n+pn+q}为等比数列．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+n+2=4•2^n-1．

则a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．（8分）

所以S_n=a₁+a₂++a_n=2²+2³++2ⁿ⁺¹-（3+4++n+2）=

22(2n-1)

2-1

-

n(n+5)

2

=2n+2-4-

n2+5n

2

．（10分）

（Ⅲ）当n=1时，a₁=1，（1+2）²=9，则a₁＜9；

当n=2时，a₂=4，（2+2）²=16，则a₂＜16；

当n=3时，a₃=11，（3+2）²=25，则a₃＜25；

当n=4时，a₄=26，（4+2）²=36，则a₄＜36；

当n=5时，a₅=57，（5+2）²=49，则a₅＞49；（11分）

当n≥5时，要证a_n＞（n+2）²⇔2ⁿ⁺¹-n-2＞（n+2）²⇔2ⁿ⁺¹＞n²+5n+6．

而2ⁿ⁺¹=C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²++C_n+1ⁿ⁺¹≥2（C_n+1⁰+C_n+1¹+C_n+1²）+C_n+1³

=2+2(n+1)+n(n+1)+

(n-1)•n•(n+1)

6

≥2+2（n+1）+n（n+1）+（n-1）•n（∵n+1≥6）

=（n²+5n+6）+[n（n-3）-2]＞n²+5n+6．

所以当n≥5时，a_n＞（n+2）²．（13分）

因此当1≤n≤4（n∈N^*）时，a_n＜（n+2）²；当n≥5（n∈N^*）时，a_n＞（n+2）²．（14分）