数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1

问题解答题

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令cn=

bn-4

（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

答案

（1）由题意可得，当n≥2时，有

an+1=2Sn+1

an=2Sn-1+1

，（1分）

两式相减，得 a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2），（2分）

所以，当n≥2时，{a_n}是等比数列，要使n≥1时{a_n}是等比数列，

则只需

2t+1

=3，从而得出t=1．（4分）

（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，∴an=3n-1．（5分）

∴bn=nan=n•3n-1，（6分）

∴Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)•3n-2+n•3n-1，①（7分）

上式两边乘以3得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n②，（8分）

①-②得-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n•3n，（9分）

∴Tn=

2n-1

•3n+

．（10分）

（3）由（2）知bn=n•3n-1，∵cn=1-

，

∵c1=1-

=-3，c2=1-

2×3

，∴c₁c₂=-1＜0．（11分）

∵cn+1-cn=

bn+1

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0，∴数列{c_n}递增．（12分）

由c2=

＞0，得当n≥2时，c_n＞0．（13分）

∴数列{c_n}的“积异号数”为1．（14分）