已知函数f（x）=2x2+ax-1，g（log2x）=x2-x2a-2．（1）求

问题解答题

已知函数f（x）=2x²+ax-1，g（log₂x）=x²-

2a-2

．
（1）求函数g（x）的解析式，并写出当a=1时，不等式g（x）＜8的解集；
（2）若f（x）、g（x）同时满足下列两个条件：①∃t∈[1，4]使f（-t²-3）=f（4t） ②∀x∈（-∞，a]，g（x）＜8．
求实数a的取值范围．

答案

（1）令t=log₂t，则x=2^t，

∴g（t）=（2^t）²-

2a-2

=（2^t）²-

•2t，即g（x）=（2^x）²-

•2t．

当a=1时，不等式g（x）＜8，即（2^x）²-2•2^x-8＜0．

∴2^x＜4，解得x＜2．

∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．

（2）①由题意，-

-t2-3+4t

，即a=2（t²-4t+3）=2（t-2）²-2，

由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．

②由题意，(2x)2-

•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立．

即

＞2x-

在x∈（-∞，a]上恒成立．

令μ=2^x，则μ∈（0，2^a]，∴

＞μ-

．

∵函数h(μ)=μ-

在（0，2^a]上为增函数，

∴hmax(μ)=h(2a)=2a-

，

∴

＞2a-

，解得2a＜2

，

∴a＜log22

．

综合①②，符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a＜log22

}．