问题
解答题
| 已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1） （Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…），求证：数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式 （Ⅲ）设cn=
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答案
（Ⅰ）证明：∵an+1=2an-1（n≥1）
∴两边同时减去1，得an+1-1=2（an-1）
又a1-1=2，bn=an-1
∴{bn}是以a1-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=2n，∴an=2n+1（n∈N*）
（Ⅲ）证明：cn=
=2n an•an+1
-1 2n+1 1 2n-1+1
∴Sn=（
-1 21+1
）+（1 22+1
-1 22+1
）+…+（1 23+1
-1 2n+1
）=1 2n-1+1
-1 3
＜1 2n-1+1 1 3
即Sn＜1 3