问题
解答题
一直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．
（1）求证：∠ACB不可能是钝角；
（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
解：设
，
直线AB方程为
由
，得：y2﹣2pty﹣p2=0，
则
∴
．
，
∴
∴
不可能为钝角，
故∠ACB不可能是钝角
（2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形
由（1）得：线段AB的中点为
①若直线AB的斜率不存在，这时t=0，
，
点C的坐标只可能是
，
由
，得：
，矛盾，
于是直线AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：kCMkAB=﹣1，
即
，
∴m=pt3+2pt，
∴
，|AB|=2p（t2+1），
由
，得：
，
∴
故存在点
，使得△ABC为正三角形．