问题
解答题
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”。给定x0＞2。
（1）证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（2）试问：点P（x0，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由。
答案
解：（1）设AB为点
的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
则
两式相减得
因为x1≠x2
所以y1+y2≠0
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是
，则
从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0，0）在直线上，
所以
而
于是
故点P（x0，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2；
（2）由（1）知，弦AB所在直线的方程是
，代入
中
整理得
（·）
则
是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
因为
于是设t=
，则t∈（0，4x0-8）
记
若
，则
所以当
，即
=2（x0-3）时，l有最大值
若
，则
，
在区间
上是减函数
所以
，l不存在最大值
综上所述，当x0>3时，点
的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2<x0≤3时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值。