问题
解答题
数列{an}与{bn}的前n项和分别是An和Bn，且bn=n•an，2An=Bn+
（1）求证：数列{an}是从第三项起的等比数列； （2）当数列{an}是从第一项起的等比数列时，用n的式子表示Bn； （3）在（2）的条件下，对于给定的自然数k，当n＞k时，
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答案
（1）证明：a1=
，当n≥3时，根据an=An-An-1，nan=Bn-Bn-1，可得an=(1 4
)n+1，即{an}从第三项起成等比．1 2
（2）若{an}从第一项起成等比，那么由a1=
，q=1 4
，得a2=1 2
，an=1 8
(1 4
)n-1，An=1 2
-1 2
，1 2n+1
故 Bn=1-
．n+2 2n+1
（3）∵
=(n-k)an-k Bn+k-1
，又∵(n-k)•22k -(n+k+2) lim n→∞
=M，∴M=-22k，(n-k)an-k Bn+k-1
由已知M∈（-1000，-100），∴22k∈（100，1000），∴2k=7，8，9，∵k∈N，故k=4为所求．