在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．（I）记Sn=A

问题解答题

在等比数列{a_n}中，首项为a₁，公比为q，S_n表示其前n项和．
（I）记S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，证明A，B，C成等比数列；
（II）若a1=a∈[

2010

，

1949

]，

=9，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，当n取何值时，T_n有最小值．

答案

（ I）当q=1时，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，

C=3na₁-2na₁=na₁，可见A，B，C成等比数列；（2分）

当q≠1时，A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，

a2n+1(1-qn)

1-q

．故有

an+1

=qn

，

a2n+1

an+1

an+1qn

an+1

=qn．

可得

，这说明A，B，C成等比数列．

综上，A，B，C成等比数列；（6分）

（II）若q=1，则

6a1

3a1

=2≠9，

与题设矛盾，此情况不存在；

若q≠1，则

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，

故有1+q³=9，解得q=2．（8分）

所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．

所以数列{log₂a_n}是以log₂a为首项，1为公差的等差数列．

令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0⇔n≤1-log₂a．

因为a∈[

2010

，

1949

]，

所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，（10分）

即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，

可知满足log₂a_n≤0的最大的n值为11．

所以，数列{log₂a_n}的前11项均为负值，

从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，T_n有最小值．（12分）