设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N+）．（Ⅰ）求证数列{

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式；
（Ⅲ）对任意n∈N⁺，试比较

与 S_n的大小．

答案

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，二式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，

∴

an+1

=2，∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，（3分）

又∵S₁=2a₁-1，∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．（5分）

（Ⅱ）∵na_n=n2^n-1，

∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①

2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②（7分）

①-②得-T_n=1+2+4+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n2n=2n-1-n2n，

∴T_n=n2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）2ⁿ+1．（9分）

（Ⅲ）∵Sn=

1-2n

1-2

=2n-1，

∴

-Sn=

(n2n-2n+1)-(2n-1)=(n-3)2n-1+

，（11分）

∴当n=1时，

-S₁=-

＜0，当n=2时，

-S₂=-

＜0，；

当n≥3时，

-S_n＞0．（13分）

综上，当n=1或n=2时，

＜Sn；当n≥3时，

＞Sn．（14分）