（1）证明：对任意n∈N^*，都有bn+1=

1

2

bn+

1

4

，所以bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)…（1分）

则数列{bn-

1

2

}成等比数列，首项为b1-

1

2

=3，公比为

1

2

…（2分）

所以bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，

∴bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

…（4分）

（2）因为bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

所以Tn=3×

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

…（6分）

因为不等式

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7，化简得k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立…（7分）

设cn=

2n-7

2n

，则cn+1-cn=

9-2n

2n+1

…（9分）

当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列

∵c4=

1

16

，c5=

3

32

，∴c₄＜c₅，∴n=5时，c_n取得最大值

3

32

…（11分）

所以，要使k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

…（12分）