在数列{an}中，a1+a2+a3+…+an=n-an（n=1，2，3，…）．（

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）设b_n=a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）设cn=bn•(n-n2) （n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有cn＜

，求正整数t的最小值．

答案

（I）由已知，a₁=1-a₁，a₁=

．a₁+a₂=2-a₂，a₂=

．a₁+a₂+a₃=3-a₃，a₃=

．

（II）证明：由已知可得，S_n=n-a_n，

当n≥2时，S_n-1=（n-1）-a_n-1，

a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1

a_n-1=

（a_n-1-1），

即当n≥2时，b_n=

b_n-1，b₁=a₁-1=-

≠0

所以数列{b_n}是等比数列，其首项为-

，公比为

．

（III）由（Ⅱ）得b_n=-

，

∴cn=bn•(n-n2)=

n2-n

c_n-c_n-1=

(n+1)2-(n+1)

2n+1

n2-n

n(3-n)

2n+1

∴c₁＜c₂＜c₃=c₄＞c₅＞…

∴c_n有最大值c₃=c₄=

，任意n∈N^*，都有cn＜

，当且仅当

＜

即t＞

，故正整数t的最小值是4．