问题
解答题
已知数列{an}满足a1=
（1）证明数列{an-
（2）分别求数列{an}和{bn}的通项公式an和bn； （3）若cn=
|
答案
（1）∵点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
x+1 2
的图象上1 3
∴Sn+1=
(2Sn+an)+1 2
，1 3
即Sn+1-Sn=
an+1 2
，1 3
an+1=
an+1 2
，1 3
即an+1-
=2 3
(an-1 2
)，2 3
∴a1-
=2 3
≠0，1 2
∴数列{an-
}是等比数列．2 3
（2）由（1）知，an-
=(a1-2 3
)(2 3
)n-1，1 2
得an=
+(2 3
)n，1 2
∵
=bn+1 bn
，n n+1
∴
=b2 b1
，1 2
=b3 b2
，2 3
=b4 b3
，…，3 4
=bn bn-1
，n-1 n
∴
=bn b1
×1 2
×2 3
×…×3 4
=n-1 n
，1 n
即bn=
b1=1 n
（n≥2）．1 n
又∵b1=1，∴bn=
．1 n
（3）cn=
=an- 2 3 bn
=n•((
)n1 2 1 n
)n，1 2
Tn=1×
+2×(1 2
)2+…+n×(1 2
)n，①1 2
Tn=1×(1 2
)2+…+(1 2
)n-n•(1 2
)n+1，②1 2
①-②得：
Tn=1 2
+(1 2
)2+…+(1 2
)n-n(1 2
) n+1，1 2
Tn=1 2
-n(
(1-1 2
)1 2 n 1- 1 2
)n+1，1 2
Tn=1-1 2
-n(1 2 n
)n+1，1 2
Tn=2-
，2+n 2n
Tn-1=1-
，2+n 2n
n=1时，Tn-1＜0，即Tn＜1，
n=2时，Tn-1=0，即Tn=1，
n≥3时，Tn-1＞0，即Tn＞1．