问题
解答题
我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．
（2）试用n、q表示第二列的各数之和； （3）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，若c1，c2，c3成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，c3，…，cm（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由． |
答案
（1）如表…（3分）
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | 1+q | 2+q | （n-1）q | |
| 第3行 | q2 | 1+q+q2 | |||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 | 1+q+…qn-1 |
当q=1时，S=1+2+3+…+n=n(n+1) 2
当q≠1时，1+q+…+qn-1=1-qn 1-q
S=
=n-(q1+q2+…+qn) 1-q
-n 1-q qn-qn+1 (1-q)2
所以综上可知Sn=
q=1n(n+1) 2
-n 1-q
q≠1qn-qn+1 (1-q)2
（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2
由c22=c1c3⇒q=-
，则c1=1，c2=1 2
，c3=3 2 9 4
若m≥3时，c1，c2，c3，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列
由上可知此时q=-
，又 c4=4+3q+2q2+q3得知c4=1 2 23 8
而
=c4 c3
≠23 8 9 4
，所以对于任意的m≥4，c1，c2，c3，…，cm一定不是等比数列3 2
综上所述，当且仅当m=3且q=-
时，数列c1，c2，c3，…，cm是等比数列．1 2