从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称

问题解答题

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a_n}的一个子数列，设数列{a_n}是一个首项为a₁，公差为d（d≠0）的无穷等差数列．

（1）若a₁，a₂，a₅为公比为q的等比数列，求公比q的值；

（2）若a₁=1，d=2，请写出一个数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}；

（3）若a₁=7d，{c_n}是数列{a_n}的一个无穷子数列，当c₁=a₂，c₂=a₆时，试判断{c_n}能否是{a_n}的无穷等比子数列，并说明理由．

答案

（1）由题设，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，

于是d=2a₁，故其公比 q=

=3；

（2）取b₁=3，b₂=9，则数列{a_n}的无穷等比子数列{b_n}可以为b_n=3ⁿ满足题意；

（3）设等比数列的公比q=

，bm=a2qm-1=8d•(

)m-1，由题设a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d

假设数列{b_m}为{a_n}的无穷等比子数列，

则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，

即 (n+6)d=8d•(

)m-1，

得n=8(

)m-1-6，

当m=5时，n=8(

)5-1-6=

∉N*与假设矛盾，

故该数列不为{a_n}的无穷等比子数列．