问题
解答题
从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{an}的一个子数列，设数列{an}是一个首项为a1，公差为d（d≠0）的无穷等差数列．
（1）若a1，a2，a5为公比为q的等比数列，求公比q的值；
（2）若a1=1，d=2，请写出一个数列{an}的无穷等比子数列{bn}；
（3）若a1=7d，{cn}是数列{an}的一个无穷子数列，当c1=a2，c2=a6时，试判断{cn}能否是{an}的无穷等比子数列，并说明理由．
答案
（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，
于是d=2a1，故其公比 q=
=3；a2 a1
（2）取b1=3，b2=9，则数列{an}的无穷等比子数列{bn}可以为bn=3n满足题意；
（3）设等比数列的公比q=
=a6 a2
，bm=a2qm-1=8d•(3 2
)m-1，由题设an=a1+（n-1）d=（n+6）d3 2
假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使an=bm，
即 (n+6)d=8d•(
)m-1，3 2
得n=8(
)m-1-6，3 2
当m=5时，n=8(
)5-1-6=3 2
∉N*与假设矛盾，69 2
故该数列不为{an}的无穷等比子数列．