已知数列{an}是首项、公比都为q（q＞0且q≠1）的等比数列，bn=anlog

问题解答题

已知数列{a_n}是首项、公比都为q（q＞0且q≠1）的等比数列，b_n=a_nlog₄a_n（n∈N^*）．
（1）当q=5时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）当q=

时，若b_n＜b_n+1，求n最小值．

答案

（1）由题得a_n=qⁿ，∴b_n=a_n•log₄a_n=qⁿ•log₄qⁿ=n•5ⁿ•log₄5

∴S_n=（1×5+2×5²+…+n×5ⁿ）log₄5

设T_n=1×5+2×5²+…+n×5ⁿ①

5T_n=1×5²+2×5³+…（n-1）5ⁿ+n×5ⁿ⁺¹②

②-①：-4T_n=5+5²+5²+…+5ⁿ-n×5ⁿ⁺¹=

5(5n-1)

-n×5ⁿ⁺¹

T_n=

(4n×5n-5n+1)，

S_n=

(4n×5n-5n+1)log45；

（2）b_n=a_nlog₄a_n=n(

)nlog4

，

b_n+1-b_n=[（n+1）(

)n+1-n(

)n]log4

log4

=[(

)n(

)log4

]＞0，因为log4

＜0，(

)n＞0，

所以

＜0，解得n＞14，

即取n≥15时，b_n＜b_n+1．

所求的最小自然数是15．