对3a_n+1+a_n=4（n≥1）变形得：

3[a_n+1-1]=-（a_n-1），

an+1

an

=-

1

3

，

a_n=8×（-

1

3

）^（n-1）+1，

S_n=8{1+（-

1

3

）+（-

1

3

）²+…+（-

1

3

）^（n-1）]+n

=6-6×（-

1

3

）ⁿ+n，

|S_n-n-6|=|-6×（-

1

3

）ⁿ|＜

1

125

．

故：n=7．

故答案为：7．