问题
解答题
已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=2,a2=b2=4.
(I)求an、bn;
(Ⅱ)对于∀n∈N*,试比较an、bn的大小并用数学归纳法证明你的结论.
答案
(I)∵a1=b1=2,a2=b2=4.∴等差数列{an}的公差d=2,等比数列{bn}的公比q=2
所以an=2+(n-1)×2=2n,bn=2×2n-1=2n
(Ⅱ)由已知,
当n=1,2时,an=bn,
当n=3时,a3=6,b=8,an<bn
当n=4时,a3=8,b=16,an<bn
当n=5时,a3=10,b=25,an<bn
猜测当n≥3时,an<bn
下面用数学归纳法证明.
(1)当n=3时,a3=6,b=8,an<bn成立
(2)假设当n=k(k≥3)时成立,即2k<2k,
则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2•2k=2k+2k>2k+2=2(k+1),即an+1<bn+1,所以当n=k+1时也成立
由(1)(2)可知当n≥3时,an<bn都成立.