问题 解答题

已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=2,a2=b2=4.

(I)求an、bn

(Ⅱ)对于∀n∈N*,试比较an、bn的大小并用数学归纳法证明你的结论.

答案

(I)∵a1=b1=2,a2=b2=4.∴等差数列{an}的公差d=2,等比数列{bn}的公比q=2

所以an=2+(n-1)×2=2n,bn=2×2n-1=2n

(Ⅱ)由已知,

当n=1,2时,an=bn

当n=3时,a3=6,b=8,an<bn

当n=4时,a3=8,b=16,an<bn

当n=5时,a3=10,b=25,an<bn

猜测当n≥3时,an<bn

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=3时,a3=6,b=8,an<bn成立

(2)假设当n=k(k≥3)时成立,即2k<2k

则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2•2k=2k+2k>2k+2=2(k+1),即an+1<bn+1,所以当n=k+1时也成立

由(1)(2)可知当n≥3时,an<bn都成立.

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题 A3/A4型题