问题
解答题
已知直线l：y=kx+k+1，抛物线C：y2=4x，定点M（1，1）．
（I）当直线l经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；
（II）当k（k≠0）变化且直线l与抛物线C有公共点时，设点P（a，1）关于直线l的对称点为Q（x0，y0），求x0关于k的函数关系式x0=f（k）；若P与M重合时，求x0的取值范围．
答案
（I）由焦点F（1，0）在l上，得k=-
，∴l：y=-1 2
x+1 2 1 2
设点N（m，n）则有：
，(
)(-n-1 m-1
)=-11 2
+2m+1 2
=1n+1 2
解得
，m= 1 5 n=- 3 5
∴N(
，-1 5
)3 5
∵
≠(-4 5
)2，3 5
N点不在抛物线C上．
（2）把直线方程x=
-y k
-1(k≠0)代入抛物线方程得：ky2-4y+4k+4=0，1 k
∵相交，∴△=16（-k2-k+1）≥0，
解得
≤k≤-1- 5 2
且k≠0.-1+ 5 2
由对称得
•k=-1y0-1 x0-a
=ky0+1 2
+k+1x0+a 2
解得x0=
(-a(1-k2)-2k2 k2+1
≤k≤1+ 5 2
，且k≠0)．-1+ 5 2
当P与M重合时，a=1
∴f(k)=x0=
=-3+1-3k2 k2+1
(-4 k2+1
≤k≤1+ 5 2
，且k≠0)，-1+ 5 2
∵函数x0=f（x）（k∈R）是偶函数，且k＞0时单调递减．
∴当k=
时，(x0)min=--1- 5 2
，5+2 5 5
x0=1，x0∈[-lim k→0
，1)5+2 5 5