问题
解答题
设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（-1）=0，对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤(
（1）求f（1）的值； （2）求证：a＞0，c＞0； （3）当x∈（-1，1）时，函数g（x）=f（x）-mx，m∈R是单调的，求m的取值范围． |
答案
（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（-1）=0，∴a+c=b，函数f（x）=ax2+（a+c）x+c．
∵当x∈（0，2）时，f（x）≤(
)2，∴f（1）≤1．x+1 2
又对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，∴f（1）-1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．
（2）由题意得，f（x）-x=ax2+（a+c-1）x+c≥0恒成立，∴a＞0，且f（0）-0≥0 恒成立，
∴c≥0．
综上，a＞0，c≥0．
（3）∵g（x）=f（x）-mx=ax2+（a+c-m）x+c，当x∈（-1，1）时，g（x）是单调的，
∴
≤-1，或 m-a-c 2a
≥1，∴m≤c-a，或 m≥3a+c，m-a-c 2a
故m的取值范围为（-∞，c-a]∪[3a+c，+∞）．