∵函数g（x）=（m+1）x²在区间[0，+∞）上是增函数，∴m+1＞0，解得m＞-1．

①当a＞1时，函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在区间[

1

4

， 2]上单调递增，由已知可得

loga2=1 loga 1 4 =m

，解得

a=2 m=-2

，与m＞-1矛盾，故应舍去；

②当0＜a＜1时，函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在区间[

1

4

， 2]上单调递减，由已知可得

loga 1 4 =1 loga2=m

，解得

a= 1 4 m=- 1 2

，满足m＞-1，故a=

1

4

．

故答案为

1

4

．