（1）当a=2时，g（x）=

1

2

(x-1)2+

3

2

，x∈[0，3]，

当x=1时，gmin(x)=g(1)=

3

2

；当x=3时，gmax(x)=g(3)=

7

2

，

故g（x）值域为[

3

2

，

7

2

]．

（2）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．                                   

①若 0＜t＜t+2＜

1

e

，t无解；                       

②若 0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；     

③若

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，

所以 f（x）_min=

- 1 e  ，  0＜t＜ 1 e tlnt ，  t≥ 1 e

．        

（3）证明：令 h（x）=

g′(x)+1

ex

-

2

e

=

x

ex

-

2

e

，h′（x）=

1-x

ex

，

当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时． h′（x）＜0，h（x）是减函数，

故h（x） 在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-

1

e

．

而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为-

1

e

，

且当h（x） 在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，

故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 xlnx＞

g′(x)+1

ex

-

2

e

．