问题 解答题

已知抛物线y2=4x的焦点为F.

(1)若直线l过点M(4,0),且F到直线l的距离为2,求直线l的方程;

(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与X轴垂直,若线段AB中点的横坐标为2.求证:线段AB的垂直平分线恰过定点.

答案

(1)解:由已知,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),x=4不合题意,

设直线l的方程为y=k(x﹣4)

∵F到直线l的距离为2,

∴k=±

∴直线l的方程为y=±(x﹣4)

(2)证明:设A,B的坐标A(x1,y1),B(x2,y2),

∵AB不与x轴垂直,

∴设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程,消元可得k2x2+(2bk﹣4)+b2=0

∴x1+x2=

∵线段AB中点的横坐标为2

=4

∴b=

∵线段AB中点的坐标为(2,2k+b)

∴AB的垂直平分线方程为:y﹣(2k+b)=﹣(x﹣2)

∵b=

∴方程可化为x+4y﹣4=0,显然过定点(4,0)

∴线段AB的垂直平分线恰过定点

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